人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ)：矩陣論——第一章 線性空間
2022-04-29 13:53:54

Hello，大家好我叫是Dream呀，一個(gè)有趣的Python博主，小白一枚，多多關(guān)照 ?

入門(mén)須知：這片樂(lè)園從不缺乏天才，努力才是你的最終入場(chǎng)券！

最后，愿我們都能在看不到的地方閃閃發(fā)光，一起加油進(jìn)步

“一萬(wàn)次悲傷，依然會(huì)有Dream，我一直在最溫暖的地方等你”，唱的就是我！哈哈哈~

第一章 線性空間

• ??1.1線性代數(shù)知識(shí)回顧??

• ??一、向量??

• ??1、向量的實(shí)際意義??
• ??2、向量的線性運(yùn)算??
• ??3、向量的內(nèi)積??
• ??4、向量的長(zhǎng)度??

• ??二、向量組??

• ??1、向量組的實(shí)際意義??
• ??2、向量的線性表示??
• ??3、向量組的線性相關(guān)??
• ??4、向量組的線性無(wú)關(guān)??
• ??5、向量組的極大無(wú)關(guān)組??
• ??6、向量組的秩??

• ??三、矩陣??

• ??1.矩陣的意義??
• ??2、特殊矩陣??
• ??3、 矩陣的運(yùn)算??
• ??4、矩陣秩的計(jì)算??

• ??四、線性方程組??

• ??1.向量、矩陣與線性方程組的關(guān)系??
• ??2.線性方程組解的判定（利用矩陣的秩討論）??
• ??3、 齊次線性方程組的解法??
• ??4、 線性方程組的應(yīng)用??

• ??1.2 線性空間??

• ??一、數(shù)域??
• ??二、向量空間??

• ??向量空間的基和維數(shù)??

• ??三、線性空間??
• ??四、 線性空間的基與維數(shù)??
• ??五、線性子空間??
• ??六、子空間的交與和??

1.1線性代數(shù)知識(shí)回顧

一、向量

1、向量的實(shí)際意義

確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個(gè)

參數(shù)：

飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù) P(x,y,z)

機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角:

a

機(jī)身的仰角:

b

機(jī)翼的轉(zhuǎn)角;

c

所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量

a = (x, y,z,a,b ,c )

確定西瓜是好瓜還是壞瓜？ 需要描述西瓜的特征

如下：

顏色：深綠、淺綠、淺白
根蒂：硬挺、稍卷
條紋：清晰、模糊
糖分：連續(xù)的值
西瓜：(深綠， 硬挺，清晰，1.2)

2、向量的線性運(yùn)算

3、向量的內(nèi)積

4、向量的長(zhǎng)度

二、向量組

1、向量組的實(shí)際意義

利用如下特征描述一車西瓜的特點(diǎn)，確定一車西瓜哪些是好瓜，哪些是壞瓜？

一車西瓜有若干個(gè)向量表示，構(gòu)成向量組。

2、向量的線性表示

3、向量組的線性相關(guān)

4、向量組的線性無(wú)關(guān)

一個(gè)零向量線性相關(guān)，而一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)

5、向量組的極大無(wú)關(guān)組

定義：設(shè)向量組 A 與其一個(gè)部分向量組A0：a1, a2, …, ar，如果滿足：

① 向量組A0：a1, a2, …, ar線性無(wú)關(guān)；

② 向量組 A中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示；

那么稱向量組 A0是向量組A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組

6、向量組的秩

定義：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，記作r(A)

三、矩陣

1.矩陣的意義

2、特殊矩陣

8.三角矩陣

3、 矩陣的運(yùn)算

(1) 加、減

(2) 數(shù)乘

(3) 乘法

注意：

矩陣乘法不滿足交換律；

矩陣乘法不滿足消去律

兩個(gè)非零矩陣的乘法可能是零矩陣

（4）逆矩陣的概念

4、矩陣秩的計(jì)算

定義：矩陣A 的最高階非零子式的階數(shù)， 稱為矩陣，A 的秩，記作 r(A)．

r(A)=2

1. 存在一個(gè)非零二階子式
2. 所有的三階及以上子式都等于0

r(A)=r

1. 存在一個(gè)非零r階子式
2. 所有的r+1階及以上子式都等于0

規(guī)定：零矩陣的秩等于零．

求矩陣的秩的方法：

(1) 化行階梯形矩陣；

(2) 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)

n階矩陣的秩為n時(shí)，稱其為滿秩矩陣，否則稱其為降秩矩陣.

四、線性方程組

1.向量、矩陣與線性方程組的關(guān)系

1. 向量組構(gòu)成矩陣
2. 用向量組的線性組合表示方程組
3. 矩陣可以表示線性方程組
4. 向量組的秩=矩陣的秩=有效方程的個(gè)數(shù)
   

2.線性方程組解的判定（利用矩陣的秩討論）

3、 齊次線性方程組的解法

4、 線性方程組的應(yīng)用

1.2 線性空間

一、數(shù)域

封閉：指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于該集合．

數(shù)域：數(shù)集關(guān)于四則運(yùn)算是封閉的

二、向量空間

定義：設(shè) V 是 一個(gè)向量組集合，如果

① 集合 V 非空，

② 集合 V 對(duì)于向量的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，具體地說(shuō)，就是：

1. ? 若 a ∈ V， b ∈ V，則 a + b ∈ V ．（對(duì)加法封閉）
2. ? 若 a ∈ V， l ∈ R，則 l a ∈ V . （對(duì)數(shù)乘封閉）

那么就稱集合 V 為向量空間．

齊次線性方程組的解集 S1 = { x | Ax = 0 }是向量空間

定義：齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間

向量空間的基和維數(shù)

基：向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組

維數(shù)：向量組的秩

三、線性空間

四、 線性空間的基與維數(shù)

五、線性子空間

定義：如果線性空間 V 的非空子集合 V1 對(duì)于 V 中所定義的

加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算是封閉的，則稱 V1 是 V 的子空間．

平凡子空間：零空間，V本身

例：

• 1.n 維向量的全體Rn (1) 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R }
• 2. 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：V1 是 Rn 的子空間， V2 不是 Rn
  的子空間

六、子空間的交與和

好啦，這就是今天要分享給大家的全部?jī)?nèi)容了

??????如果你喜歡的話，就不要吝惜你的一鍵三連了~